Задача о брахистохроне много раз обсуждалась на горнолыжных форумах.
Вот ссылка на исходную статью George Twardokens
http://www.psia.org/psia_2002/education/TP...l96cycloids.asp
Однако хочу заметить, что применительно к горным лыжам надо рассматривать задачу о брахистохроне с произвольной начальной скоростью.
Если задана только абсолютная величина начальной скорости, то существует единственное решение.
Смотрите книгу Лавреньев М.А. Люстерник Л.А. Курс вариационного исчисления. 1950. стр. 28
Однако направление начальной скорости также может быть произвольной. Вот в такой ситуации возникает проблема с нахождением оптимальной траектории. В классе гладких траекторий - решения нет. Однако можно построить гладкую траекторию с произвольным направлением скорости, по которой время прохождения стремится к минимальному.
Ссылка на статью где это описано:
http://scitation.aip.org/getabs/servlet/Ge...ps&gifs=yes
Дело в том, что задача о брахистохроне вырожденная
http://www.springerlink.com/content/v86243j713j206qx/
Таким образом единственной траектории даже в самой идеализированной ситуации не существует. Как влияет учет других сил (трение, сопротивление воздуха) на существование единственной быстрейшей траектории пока не понятно. Над этим вопросом планирую подумать.
PS. Тесты статей доступны. Заинтересованным в математике этого вопроса - пишеите.
Комментировать
