Занимательная геометрия для любознательного лыжника

• «… именно геометрия, наверное, всегда
  будет интересовать тех, кто увлечен
  горными лыжами и относится к ним
  немножко серьезнее, чем просто к способу
  неплохо провести время …»
  Георгий Дубенецкий «История геометрии»

Часть 1

Известно, что межсезонье для лыжника все равно, что менопауза. Прекращение активной выработки адреналина, наступающее вместе с исчезновением снега, нарушает сложившийся гормональный баланс организма, что ведет к негативным психофизиологическим последствиям. Хотя все естественные отправления и совершаются по-прежнему нормально, лыжник в это время становится вспыльчивым, быстро раздражается по пустякам и докучает домашним разным вздором про «большие горы и много снегу». Может даже начать копить деньги. Время от времени он испытывает приливы беспричинного гнева и начинает ругать Скиперфектума, факт божественного происхождения которого так и остался недоказанным, последними монгольскими словами. Бороться, конечно, можно. Одни пытаются подменить настоящий «снежный» адреналин суррогатом, вырабатываемым посредством различного рода экстрима на роликах и великах. Другие, чувствуя приближение симптомов, спасаются бегством в Южное полушарие, где как раз об это время северное. Слава богу, с первым снегом это всё проходит.

Вся известная нам геометрия лыжи укладывается, в общем-то, в пять чисел, из которых только четыре являются независимыми

Да и свойственная лыжнику природная любознательность отвлекает его на изучение и обсуждение, порою чрезвычайно горячее, с товарищами по диагнозу сложных и специфических вопросов типа «взлеты и падения лыжных брендов» или «особенности национального пултача». К числу таких вопросов, без сомнения, принадлежит и геометрия лыжи. Предлагаемая вниманию лыжника статья позволит, как надеется автор, слегка разнообразить умственную составляющую жизни этого непростого периода.

Вся известная нам геометрия лыжи укладывается, в общем-то, в картинку, вынесенную в заголовок: пять чисел, из которых только четыре являются независимыми. Радиус бокового выреза определяется через четыре остальных размерности, или, если хочется, через радиус определяется что-нибудь другое. Эта, скажем, «плоская» геометрия варьируется от лыжи к лыже и в какой-то степени определяет их свойства.

Это, конечно же, далеко не вся геометрия лыжи, потому что все эти числа откуда-то берутся. И ещё что-то между ними чем-то заполняется - в смысле кривой бокового выреза. В качестве таковой, когда занималась карвинговая заря, были перепробованы всяческие экзотические кривые, вплоть до цепной линии. Но какой она должна быть и почему – вопрос опять же лыжной геометрии, которая куда более замысловата и занимательна, чем пять упомянутых чисел. И о которой нам почему-то никто не говорит. Возможно, не хотят нас огорчать. Поэтому придётся самим, по мере сил, в ней разбираться.

Закантованная лыжа прогибается, кант лыжи ложится на поверхность склона и лыжа скользит по дуге прилегания канта к склону

Древнегреческие греки рисовали свои геометрии палочками на песке и получали неплохие результаты. Нам тоже придётся упражняться с палочками, но только, в силу специфики, на снегу, что, с одной стороны, как бы ставит нас в один ряд с разными там Эвклидами и Архимедами. С другой стороны, после них там делать нечего.

[page]

Итак, вслед за типовой геометрией обычно следует типовое описание механики резаного поворота на жестком склоне: закантованная лыжа прогибается, кант лыжи ложится на поверхность склона и лыжа скользит по дуге прилегания канта к склону, подобно лезвию конька (вообще говоря, сам я таких коньков не видел, они всё-таки как-то по-другому ездят, но сравнение красивое и в определённых случаях из него можно извлечь пользу).

Вот это описание и вызывает ряд «геометрических» вопросов:

• как прогибается лыжа?
• ложится ли кант на склон полностью или только частично?
• по какой дуге кант прилегает (если прилегает) к склону?
• и может ли лыжа по этой дуге скользить?

Как прогибается лыжа? Ложится ли кант на склон полностью или только частично?

Сразу скажем, что мы не собираемся тут отвечать на все эти вопросы, а постараемся, по возможности - наглядно, показать, почему их можно задавать, и какая связь между ними и геометрией. Попутно попробуем сами нарисовать лыжу и посмотрим, что из этого получится. Разумеется, в самом наипростейшем варианте.

Но для начала определимся с понятиями. Лыжа ставится на склон под углом (кантуется) и нагружается. С одной стороны – силами, действующими со стороны лыжника, с другой – силами, действующими со стороны снега. Под действием этих сил лыжа деформируется до тех пор, пока не ложится устойчиво на склон. Этот процесс мы далее будем именовать просто «закантовкой». Скользящая поверхность деформированной лыжи принимает при этом некоторую форму. Вот об этой форме далее и будет идти речь.

По какой дуге кант прилегает (если прилегает) к склону? И может ли лыжа по этой дуге скользить?

В качестве методологической основы примем вполне геометрическую идею, высказанную по поводу бокового выреза разработчиком Elan Юрием Франко (Jurij Franko) и приведенную в статье «Evolution of ski shape» на skiinghistory.org. Она настолько просто изложена, что мы её и переводить не будем, чтобы часом не исказить: Franko's calculation was straightforward: "Choose the radius of the turn - 10 meters, for example. Choose the speed you want to ski - 5 meters per second for example. Calculate the centrifugal force and the lean angle, as for a bicycle. This is the angulation of the ski. Imagine a ski of constant width bent to the radius of the turn and penetrating through the snow. 'Cut' the ski with the snow surface, and there you are!"

Так и будем поступать. Радиус мы, конечно, можем задать любой, но и 10 метров нас вполне устраивает. Скорость нас вообще не интересует в смысле геометрии, и угол закантовки мы можем задавать произвольно. (Но отметим подход специалиста: он берет один радиус поворота и один угол закантовки) А вот с «imagine» возникают серьёзные заморочки. Конечно, с лыжей одинаковой ширины нет проблем, а вот представить себе, как изгибается в повороте реальная лыжа, которая может гнуться и вдоль и поперек, и скручиваться при этом – это свыше способностей воображения автора. А что именно представляет себе Франко – он не уточнил. Поэтому придётся подбираться к этому самим, постепенно, мелкими шажками. Да и подготовить специнвентарь для опытов.

Cut the ski with the snow surface, and there you are!

Возьмем в качестве основы какую-нибудь старенькую лыжу и наклеим на её скользящую поверхность ряд поперечных палочек одинаковой длины, ну, скажем, - дирижерских (поскольку мы делаем это всё мысленно, то нет нужды особенно стесняться в средствах). Палочки будут помогать нашему воображению. Проделав эту титаническую работу, мы получаем «лыжу одинаковой ширины», в прямом соответствии с руководящими указаниями.

Теперь мы можем и начинать. Но сначала придётся наложить на лыжу некоторые ограничения. Представим себе, что наша лыжа может только изгибаться как линейка, не скручиваясь и не прогибаясь в боковом плане. Это, к слову сказать, соответствует свойствам «идеальной лыжи», к которой вроде бы как стремятся все производители.

Что для неё характерно? То, что при всех возможных деформациях лыжи её продольная ось может изгибаться только в плоскости продольного сечения лыжи, т.е. только вверх и вниз и никак ни вправо, ни влево, А.все наши палочки остаются параллельными друг другу и перпендикулярными продольной оси лыжи.

Теперь нарисуем на снегу окружность поворота некоторого радиуса (да хоть те же 10 метров). Определимся с углом закантовки (например, 45 градусов). Поднесем нашу лыжу под этим углом к нарисованной окружности и начнем аккуратно втыкать её палочками в снег, начиная с середины и прогибая её так, чтобы каждая палочка втыкалась точно в нарисованную окружность. Как только все палочки будут воткнуты в снег, наступает момент «there you are!», для полного торжества которого достаточно пройтись ножовкой по палочкам точно по плоскости снега.

[page]

Но не будем с этим спешить. Ещё успеем. Пока лыжа торчит в снегу, мы, имея солидный запас палочек, можем пройтись по нарисованной на снегу окружности поворота, втыкая через некоторые промежутки наши палочки так, чтобы и они оставались параллельными «лыжным» палочкам. В результате мы получим примерно такую картину, что изображена на рис.1.

Можно сказать, что мы при помощи палочек продлили лыжу до полного замыкания дуги поворота. Все наши палочки дают представление о геометрической поверхности, которую образует скользящая поверхность лыжи при определенном угле закантовки и при сделанных нами допущениях. А продолжили и замкнули мы эту поверхность потому, что так значительно легче соображать относительно её свойств. Лыжа составляет только маленький кусочек этой поверхности. Чуть позже мы увидим – какой. А пока посмотрим на такую поверхность целиком, поскольку свойства этой поверхности распространяются и на лыжу.

Все линии, из которых она образована, параллельны друг другу и наклонены к склону одинаково на один и тот же угол – угол закантовки. Поверхности, образованные параллельными линиями, называются цилиндрическими. Поскольку палочки обрезаны по одному уровню, то поверхность производит впечатление круглой. Но это не так.

Это хорошо видно на следующих рисунках (2 и 3), где на двух видах показано, как трансформируется эта поверхность для одной и той же лыжи в зависимости от угла закантовки. Изображенные три поверхности соответствуют углам закантовки 10, 45 и 70 градусов. При нулевом угле закантовки поверхность просто вырождается в плоскость. А далее начинает приобретать «телесность». Радиус окружности, на который она опирается, уменьшается в соответствии с известной формулой для радиуса поворота, а нормальное сечение становится всё более округлым эллипсом. Более строго, нормальное сечение этой поверхности представляет эллипс, у которого большая полуось равна текущему радиусу поворота, а малая – ему же, умноженному на синус угла закантовки. Соответственно сечению, такая поверхность именуется эллиптическим цилиндром. И всё, что мы можем про него сказать, относится и к лыже. Но прежде давайте посмотрим, где же эта лыжа находится.

Для конкретности зададимся радиусом поворота в 10 метров и углом закантовки 45° (это то, что у нас посередине на рис. 2 и 3), и изобразим соответствующую поверхность. А, имея поверхность, уже ничего не стоит получить из неё лыжу. Для этого обрежем поверхность нормальной плоскостью так, чтобы в самом узком месте между плоскостью склона и нормальной плоскостью оставалась ровно половина желаемой ширины лыжи в талии. Теперь наша лыжа хорошо видна на общей поверхности (она выделена голубым на рис. 4). Осталось только вырезать кусок нужной длины, развернуть его на плоскость, и мы получим половинку лыжи с кривой бокового выреза, точно соответствующей заданным условиям (рис. 5).

Попутно мы получили и ответ на вопрос, как прогибается такая лыжа. Она, т.е. её продольная ось, которая всегда перпендикулярна нашим палочкам, прогибается по дуге эллипса, лежащего в нормальном сечении поверхности, образуемой лыжей.

[page]

Таким образом, лыжу мы нарисовали, и осталось что-нибудь сказать о её свойствах, которые прямо проистекают из общих свойств поверхности. Что до поверхности, то несколько настораживает то, что она не является поверхностью вращения, т.е. не обладает симметрией относительно оси поворота (случай угла закантовки в 90 градусов рассматривать не имеет смысла). От этого можно ожидать всяческих нюансов, которые мы сейчас постараемся усмотреть.

Ну, во-первых, на рис. 4, да и на остальных тоже, хорошо видно, что угол между плоскостью склона и внешней стороной нарисованной поверхности, который равен точно углу закантовки там, где у лыжи талия, дальше начинает увеличиваться и через четверть окружности поворота становится равным 90 град.;, а дальше увеличивается ещё больше. И это при любом произвольном угле закантовки. Само собой, и у лыжи то же самое, только в значительно меньшей степени, поскольку она составляет только малую часть окружности поворота. То есть угол закантовки лыжи изменяется по её длине, увеличиваясь от талии к концам лыжи. Что само по себе нехорошо, поскольку увеличение угла закантовки сверх необходимого приводит к увеличению давления на боковую сторону лыжи, что увеличивает сопротивление. Но мы не будем считать, сколько там градусов составляет это изменение, а просто отметим это обстоятельство.

Припомним ещё, что Франко ограничивался одним углом закантовки и присмотримся попристальней к кривой бокового выреза, которая у нас получилась (рис.6). Красная линия – это дуга окружности, проходящей через «геометрические» точки, и определяющей радиус бокового выреза лыжи. Величина радиуса хорошо согласуется с известной формулой косинусной зависимости, и, так сказать, вполне нас устраивает. Но вот что интересно: сама кривая бокового выреза не является дугой окружности (здесь и далее для наглядности масштабы искажены, чтобы что-то видно было, так что никаких количественных оценок по этим рисункам делать не следует, - только характер самих кривых). Мы знаем точно, что при угле закантовки 45 градусов; эта кривая полностью ложится на склон по дуге окружности радиусом 10 м. А как она ложится на него при малых, скажем 10 градусов, углах? Малые углы – малые деформации, так что, скорее всего, при 10 градусах боковой вырез ляжет на склон тоже не по дуге окружности. А по кривой, достаточно близкой к кривой бокового выреза. А может ли лыжа скользить по дуге, которая не является дугой окружности? Скользить – вряд ли, а ехать сможет. По некоторому радиусу, определяемому средней, наиболее загруженной частью лыжи. А прочие части лыжи будут скрести снег, создавая дополнительное сопротивление. Это, так сказать, на виде сверху. А если посмотреть в плоскости склона, то мы так же не можем быть уверены, что при углах, отличных от 45 градусов, кант нашей лыжи полностью ложится на склон. Он, например, может касаться её только в трёх каких-либо точках, а в остальных местах иметь зазоры, что тоже не будет способствовать идеальному скольжению.

Точно рассчитать это всё и показать, конечно, можно, но пусть этим занимается кто-нибудь другой. Мы же ограничимся тем, что повторим построения и найдем «выкройки» лыжи из двух оставшихся поверхностей на рис. 2 и 3, соответствующих углам закантовки 10 градусов и 70 градусов. Все полученные кривые совместно приведены на рис. 7.

Как и следовало ожидать, они отличаются друг от друга. Отличия незначительны, но они есть. И чем «радикальней» лыжа, т.е. чем больше отношение её собственной длины к радиусу бокового выреза, тем сильнее проявляются эти эффекты. Что же это в целом означает? Это означает, что в рамках данной геометрии, которую может позволить себе наша «идеальная лыжа», мы можем точно построить кривую бокового выреза только для одного угла закантовки, или, если хотите, скорости. Для остальных углов она точной уже не будет.

И то, если копнуть поглубже, или иначе, засунуть лыжу «поглубже», то и точная кривая не совсем уж идеальна. Любая из нарисованных нами поверхностей, например, на рис.3, может свободно вращаться вокруг оси поворота, поскольку опирается точно на окружность, лежащую на плоскости склона. Но стоит нам слегка заглубить эту поверхность в снег, как и положено реальной лыже, то получается такая картина, как на рис.8. Из неё видно, что такая поверхность не может вращаться относительно оси поворота, не деформируя снег и не вызывая этим самым дополнительное сопротивление. И лыжа, соответственно, заберет на себя некоторую малую часть этого сопротивления.

Вот такая геометрия у нас получается на данном этапе. Во второй части мы подумаем, что же со всем этим делать и куда грести.

Продолжение

Обсудить статью можно здесь

Автор: Игорь Изыльметьев

Другие статьи автора на сайте:

Лыжи и светлое будущее
Ещё раз про внутреннюю лыжу
Две оси на одно колено
Лыжные травмы коленей
Закантовка. Технический роман из жизни лыжи в двух частях с иллюстрациями
По следам «Пяти навыков…»
Виртуальный бугор и разгрузка вниз
Карвинговая лыжа. В поисках идеала